2005-07-03
《零的故事》,動搖哲學、科學、數學及宗教的概念 (一)
文章論述/科學哲學
  為特定的數字寫發展史,目前已經出版的書有自然對數 e、圓周率 π、虛數 i(結合前三者,作為數學界最精練與美麗的公式便是 e+ 1= 0),與黃金比例(方程式 x2-x-1=0 的根)等等,我會找個時間好好地介紹以上重要的數學符號。歷史上最具破壞力與矛盾本性的數字,莫過於「零」這個多次動搖哲學、科學、數學及宗教的概念!而這本書《零的故事》(Zero:The Biography of a Dangerous Idea,商周出版,2001)無疑是必須被推薦的。對比於另一本介紹零的書《從零開始》(The Nothing That Is——A Natural History of Zero),這本《零的故事》雖然寫法比較通俗,可是它的涵蓋面卻是相當完整,這本書的內容,深入淺出的章節更是令我印象深刻。作為一位年輕科普作家的處女作,它是值得被讚揚的作品。

  五年前的千禧年,當大家以為邁進二十一世紀而歡聲雷動地慶祝的時候,很多人才知道原來二十一世紀的第一年是西元 2001 年,而西元 2000 年其實是二十世紀的最後一年!這個「烏龍」是肇因於二千多年前,西方曆法創立的時候,「零」這個數字的概念尚未誕生, 所以西元是始於 01 年而不是始於 00 年,也就是說,西方曆法一開始就是西元一年,而每個千禧年的第一年都是某個 01 年。那麼,西元前一年與西元一年是相隔幾年呢?答案是只相隔一天,因為西元零年根本不存在啊!事實上,一直要到西元七世紀「零」的計數性概念才進入人類歷史,最遲在西元九世紀,零在十進位系統的位置符號,便出現於東方世界的印度與阿拉伯,最後要到了中世紀末期,西方世界才接納了零的現代意義。為什麼「零」的現代意義是發源於古老的東方世界,而不是來自於西方世界——哲學、科學與宗教之搖籃——的古希臘時期呢?這是因為古印度是一個積極探究空無與無限的社會,而古希臘人乃至於古歐洲的教會傳統,卻是懼怕空無與無限的概念。他們所排拒的「零」,擁有著創造空無與無限的巨大力量。

  古希臘的宇宙觀是由畢達哥拉斯、亞里斯多德與托勒密所奠基的,在古希臘文明崩潰之後,這個宇宙觀繼續流傳著,並且影響西方思想直到中世紀時期。信奉「萬物皆整數」的畢達哥拉斯學派認為「比例」決定了音樂之美、物體之美與數學之美,他們繼承了埃及的幾何學,可是零哪有什麼具體形狀呢?而且零與任何數字的比例皆會摧毀掉整個幾何,所以「零」對於畢達哥拉斯學派而言是無法被理解的。應該說整個古希臘始終掌握不了「零」,古希臘的數學主要是奠基在幾何式具像圖形的數字概念,例如他們在沙地上用不同顆數的小石子構成三角形數(1、3、6、10……)、四角形數( 1、4、9、36……)、五角形數等等,古希臘人沒有想到零,也不需要零。另外在系統性的思辯論述方面,我們可以說,亞里斯多德的學說是西方歷史上最具影響力的哲學基礎,可是亞里斯多德(否認現實的無限性)宣稱「沒有無窮大,也沒有無窮小,沒有無限,也沒有空無」,他討厭空無,所以不接受真空的宇宙,他選擇了永恆而(星球數目)範圍有限的宇宙本體,他推理說,必定存在著上帝使得星球沿著固定的軌道運轉——這些觀點搭配著托勒密的天文學(主張地球是宇宙的中心),使得亞里斯多德的學說變成了中世紀時期教會體系的哲學傳統。

  例如,亞里斯多德學說就留下了這樣的信條:「神不可能以直線挪動天體,因為這會留下真空!」類似的信條還有「大自然憎恨真空」,甚至連十七世紀的笛卡兒也拒絕真空與終極的零的存在。雖然中世紀的基督教教義接受創造論,創造是來自於混沌虛空的狀態,可是中世紀的學者仍然為空無冠上邪惡的污名——邪惡就是空無,他們說:「神是全能的。沒有一件事是神做不到的。但是,神——至善者——不可能作出邪惡的事。因此,邪惡就是無!」(「撒旦」的字面意義也是無)。然而相反的,古印度宗教的濕婆神正是代表了最終的空無、至上的無,祂是世界的創造者與毀滅者,古印度的宇宙觀是沒有邊際的,宇宙的無限便是起源於空無,雖然空無是世界的起源,但是再次回到空無同時也是古印度社會所追尋的哲學信念。由於對於空無與無限的接納,古印度是最先接受零的數學角色的地方,後來佔領印度而繼承東方傳統的伊斯蘭帝國,所使用的數字系統──包括數學代數與運算技巧──也快速地在阿拉伯世界傳播開,直到影響整個歐洲各地 。十三世紀初期,義大利數學家斐波那契(Leonardo Pisano,即著名的斐波那契數列的提出者,找個時間,我必須要好好介紹這個——與黃金比例與大自然之演化動力學密切相關的——重要數列)透過《算盤書》(或譯《算經》,Liber Abaci)將包含零的阿拉伯數字系統,與應用性的數學演算介紹給歐洲。在十三世紀中期,「零」終於在歐洲生根。

  從中世紀末期到十五世紀的文藝復興,零以及阿拉伯數字首先在歐洲的商業貿易獲得成功的運用,零與空無的觀念終於登上檯面,在另一方面,零與隱沒點的透視畫法也是文藝復興時期的視覺藝術家所使用的工具,達文西說:「不允許任何不懂數學的人閱讀我的藝術作品。」在零扭轉商業貿易與藝術世界的同時,空無與無限的觀念更是十六、十七世紀宗教、哲學與科學的爭戰核心!哥白尼反駁了亞里斯多德與托勒密的宇宙學說,他指出地球不是宇宙的中心,地球是繞著太陽運轉的,宇宙必須在無限當中發展,佈滿了數不盡的世界。新觀念的興起以及對於教皇威權的反抗,使得宗教改革與反改革的勢力激烈地爭鬥著,改革派宣稱:地球不是神創造萬物的中心;萬能的神可以創造真空,只要祂願意如此。(排拒真空的笛卡兒曾經諷刺小他廿七歲的巴斯卡說:「這個人的腦袋實在有太多真空了!」)托里切利與巴斯卡用科學闡明了真空的奧秘:大自然並不憎恨真空。十七世紀的巴斯卡甚至試圖在空無與無限當中證明神的存在。

  就在歐洲教會掙脫亞里斯多德哲學的枷鎖而逐漸能夠接受零、空無與無限的同時,也正是刻卜勒、伽利略、牛頓、萊布尼玆所帶動之科學革命的輝煌開始,可是這些科學家卻遭遇到「零」的更多考驗,這種考驗是比以往更具有破壞性的。在繼續寫下去之前,讓我先談一下零在數學運算上所引發的問題。零沒有實體,在日常生活裡也無法指稱任何實物,所以這樣虛無飄渺的「零」一直要到西元七世紀,才從位數符號(就像是算盤上空白位置)變成是數學計算的對象,但是古印度數學家們陸續發現了零的弔詭性 :究竟 0 ÷ 0 或 1 ÷ 0 是多少呢?在十二世紀的印度數學家已經知道「分母為零的分數是無法計算的」,他們認為這種無法計算的數字便是無限大,於是零與無限大產生了連結。但是新的問題是:那麼 1 ÷ ∞ 或∞ ÷ ∞ 是多少呢?後來延續的問題是:0 0、0 、∞ 0 又會是多少呢?

  零顯然是一個特殊角色的數值。零可以無中生有、巧妙地偽裝,例如我們對 x2 -1=0 作因式分解,可以藉助以下的式子 x2 -x+x-1=0(即我們將不存在的視為 -x+x),而得到結果 (x-1)(x+1)=0(顯見零是力量最強大的影武者)。零是任何數字的倍數,任何數字也都是零的因數(顯見零的無所不包)。任何數字加零或減零還是等於該數(顯見零的空無與謙虛),但是任何數字乘以零竟然全部變成零(顯見零的霸道與自我中心),更有甚者,任何數字除以零便會摧毀整個運算邏輯!無怪乎「零」以及它所伴隨的觀念──無限小與無限大──是如此令早期的歐洲人懼怕。早在古希臘時期,無限概念就已經開始啃噬西方思維的根基,芝諾悖論藉由時空的無限可分,來論證:行動矯捷的阿奇里斯永遠追不上笨重的陸龜(亦即論證「運動的不可能性」)(芝諾悖論實際上有四組命題,這只是其中一組)。芝諾的推論幾乎是無懈可擊,這使得亞里斯多德不得不直接否認「無限」在現實存在的可能性,藉以避開芝諾悖論的襲擊。然而,芝諾悖論的惡夢卻繼續以柏克萊筆下「已逝量的鬼魅」的角色,復活於牛頓與萊布尼玆的微積分裡。一直要到十九世紀中期,數學家們才從零、無限小、無限大的牢籠下掙脫出來,但是正當數學家逃過一劫之後,當代的物理學家們又被迫關進那個牢籠裡!

(接下文)