 2007-02-11
本文是台灣美術館之「數位藝術知識與創作流通平台」的邀稿
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碎形幾何內涵與 Logo 程式繪圖
吳文成
碎形（Fractal）， 這個由數學家曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）在七Ｏ年代所發展出的幾何概念，提供了藝術設計、科學理論、自然景象三方面的新關聯與新詮釋。碎形的深刻內涵促成了不同領域的結合。
碎形一詞有破碎、不規則的含意，它用來研究邊線曲折、結構細膩、圖案複雜，但是卻具有「自我相似性」（self-similarity）的物件形態。諸如，自然界隨處可見的雪花晶體、樹幹枝椏、血管分支、海岸沿線、雲彩的邊緣以及天空的閃電——這些都是碎形，它們的特徵都是結構上一層又一層相類似的重複。我們可以仔細觀察一棵蒼茂大樹與它主幹上的樹枝、樹枝上的枝杈、葉脈的紋路，它們的形狀非常雷同，僅僅有大小與方位上的差異。這種關係在幾何學上稱為自我相似性，是碎形研究的核心。
以附圖的蕨葉碎形、樹枝碎形來舉例。我們會發現小藍框是大藍框的標準縮小版，而且小藍框是由更多、更小的相似細節所構成，宛如把一整體縮小之後再嵌入自身那般。這種現象說明了碎形的幾個內涵。
 第一，碎形有無窮的細膩度。碎形呈現出結構的層層嵌套，每個結構可以不斷地分支再分支，無論如何放大碎形結構的局部，仍然是呈現出其相似的形態。碎形擁有無限，並且豐富的細節，這啟示我們不能只是觀察形態的外觀，形態的內部結構乃是曲折、複雜與奇異的。
第二，碎形帶來局部／整體的革新性關係。碎形在大尺度（整體）與小尺度（局部）的自我相似，意味著局部元素帶有全整體的信息，就像是生物體這種大尺度的形態被紀錄在小尺度的基因裡一般，而基因的變動使得形態有截然不同的呈現。自我相似的關係，同時帶來結構的協同性。
第三，碎形提供我們理解自然界形態生長的模式。從蕨葉、樹枝碎形在附圖的生成階段，我們看到它們是在分支上相似結構的疊加，最後變成複雜的樣式。這提示我們，自然界的系統演化、形態生長，其本質是具某種規則性的不斷疊代架構。這種規則性，物理學家稱之為起始元（initiator）與生成元（generator）的疊加關係。碎形提供了我們對於大自然的理解，這不僅是在靜態的幾何學上，還有動態性的形態變化。
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碎形幾何的內涵有很多，這裡只是挑出與本文相關的幾項出來。碎形是我們觀察世界的新視角，它不但推進當代混沌學、複雜性科學的研究，也深化我們瞭解大自然的諸多現象。不僅於此，碎形還豐富了音樂、美學、數位藝術的內容，與促成不同領域的合作。例如附圖就是電腦科學利用程式語言，採用碎形方法，模擬自然生態的結果，我們可稱為計算機仿真（computer simulation）。計算機仿真，亦是數位藝術感興趣的領域之一。
附圖的蕨葉、樹枝繪製，是透過電腦的運算結合程式函數，經由不斷的遞迴執行，所產生的仿真圖形。它使用的程式語言是 Logo。 Logo 語言有許多版本，包括 MSW Logo、UCB Logo、Star Logo，以及國內發展出的 Gerlabau Logo、CLogo。我要推薦使用的是 MSW Logo（Microsoft Windows Logo），該下載點、教學網站與碎形範例等等，請見附檔。Logo 語言在美國是相當普遍的建構式繪圖教學的工具，它的繪圖主角是一隻小海龜（在 MSW Logo 簡化成一個小三角形）。
初學者可以不需要任何程式設計的知識而直接向海龜發送指令，這些指令包括前進、後退、左轉、右轉等，這些都是很直觀、形象化的方位概念。海龜繪圖（Turtle Graphics）讓 Logo 使用者可以通過簡單的指令，創作出多樣的視覺圖案。以較為複雜的蕨葉碎形為例，令人驚訝的是，它繪製圖形的程式碼非常簡短。碎形方法結合電腦程式繪圖，提供了我們從簡單程序，得到複雜形態的手段。蕨葉碎形的 Logo 程式碼，列出如下：
to main ; 主程序
draw 305
end
; 定義子程序
to draw :size ; 此是遞迴程序
IF :size<5 [Stop] ; 條件判斷後，結束
FD :size/25 ; FD 是前進
LT 80 draw :size*.3 ; LT 是左轉
RT 82 FD :size/25 ; RT 是右轉
RT 80 draw :size*.3 ; RT 80 之後，遞迴自己
LT 78 draw :size*.9 ; LT 78 之後，遞迴自己
LT 2 BK :size/25 ; BK 是後退
LT 2 BK :size/25 ; LT 2 之後，BK 長度(size/25)
end
這裡的程式碼指令只用到條件判斷（IF）與前進（Forward，簡寫 FD）、後退（Backward，簡寫 BK）、左轉（Left，簡寫 LT）與右轉（ Right，簡寫 RT）。在分號開始的文字是註解，而 draw 是運用到遞迴（遞歸，recursion）方法的程序， 也就是反覆疊代（iteration）自己的模塊，用碎形的說法便是「自我相似」的那部分。文章篇幅所限，無法詳細介紹 Logo 程式指令，但是我必須要談剛剛提到的「遞迴／疊代」的實際效果是什麼，這會呼應到我前半部所說的重點部分。
我們可以想像有一隻小海龜在螢幕上，按照遞迴程序而一下前進、後退，一下轉轉身子，直到完成一幅蕨葉。這裡的遞迴程序就是被不斷呼叫的 draw，它的輸入參數是 :size 。 draw 負責畫出不同大小的支葉， 同時小海龜也移動位置與角度，這使得整枝蕨葉呈現生動的弧度與絕妙的收尾。是否注意到每一支葉其實都是全體的縮小版？是的，遞迴的意義就在於此，即反覆地疊代自身，然後再以不同的角度、方位與大小加入整體之中，最後動態地組成一個整體。
換句話說，「遞迴／疊代」的結果，使得蕨葉在不同尺度上「自我相似」，使得蕨葉有無窮的細膩度，並且自然地生長出來——這就是前面提到的碎形概念的幾個內涵。這些內涵，搭起了數位藝術、程式設計與大自然幾何形塑的溝通橋樑，一如本文開頭所說的，碎形提供了藝術設計、科學理論、自然景象三方面的新關聯與新詮釋。如果我們希望碎形的數位藝術創作能夠表達出適切的理念，並且繁衍其豐富性，那麼，瞭解碎形所傳達的意涵有哪些，便是創作者首先的功課。
延伸閱讀：
〈Logo 小海龜實現碎形繪圖程序〉
http://blog.xuite.net/sinner66/blog/9952555
〈DBN 結合 Logo 觀念以實現碎形〉
http://blog.xuite.net/sinner66/blog/11579881
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