2005-12-07
黃金比例:數學、藝術到大自然的瑰寶
文章論述/科學哲學
  文藝復興後期的克卜勒(Kepler,1571-1630)曾經說,幾何學擁有兩件至寶,一件是大家熟知的畢氏定理,另一件便是黃金比例。歐幾里德在西元前三百年定義了「中末比」:把一條有限直線分割成兩段,當長線段與短線段之比等於全線長與長線段之比時,該比例記作 φ,也就是黃金比例,其數值約是 1.6180339887....,代數值是 x2-x-1=0 的正解。歐幾里德當初只是為了幾何推導的方便才定義出這個比例,可是,誰會想到黃金比例不但在神秘主義的五角星形出現,它還在數學與藝術的領域大放異彩!最重要的,黃金比例還隱藏在神奇的斐波那契數列(Fibonacci Sequence)之中,因而它與大自然的演化動力學發生密切的關聯——無論是植物的葉序、向日葵小花的排列、螺旋星系的漩渦、鸚鵡螺的美麗貝殼、物質結構的準晶體,以及非週期性鋪磚、兔子繁殖問題與股市的波動起伏等等,各種風馬牛不相及的現象之中,都看得到「黃金比例」與「斐波那契數列」的蹤影。實在不能不談它們。

  斐波那契數列(費波納奇序列)是歐洲人知道的第一個遞迴數列,它的內容是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …… 從第三項開始,每一項等於前兩項的和,也就是 Fn+2=Fn+1+ Fn,其中 Fn 代表序列的第 n 個數字,例如 144=89+55。當 n 趨近於無限大,也就是當這個數列無限地列舉下去之時,Fn+1 / Fn 居然越接近黃金比例的值,例如 144 / 89=1.617 ...!看來截然不同的兩個數學物件怎麼會扯上關係?這個證明需要藉助到黃金比例的連分數變形,詳細內容你可以在 Mario Livio 教授的《 黃金比例 》(The Golden Ratio)一書 p.133 - p.136 找到,在這本書裡,我們還會發現斐波那契數列許多令人意想不到的特性。假如我們把情人節送的玫瑰花瓣一片一片地拆開,看看花瓣是怎麼層層相疊的,其中按照的數學規則便是斐波那契數列的傑作,同樣的現象也可以在松樹毬果殼的鱗片排列中看到,就連鸚鵡螺貝殼的生長模式也受到黃金比例的調教!為什麼會這樣呢?這是牽涉到演化動力學的問題,大家同樣可以在《黃金比例》 p.145 - p.148 找到概要的說明 ,而我將在另一篇文章,專門地談談這方面的研究。

  黃金比例不只出現在大自然裡,自從在文藝復興時期,黃金比例被譽為是「神的比例」之後,它還在若干藝術家、建築師、設計師的作品中嶄露頭角。例如,達文西在繪畫與數學的探索裡應用了黃金比例,又例如,達利在一九五五年的畫作《最後的晚餐》突顯的立體景深,還有一個例子是,義大利設計家莫茲在一九八七年將斐波那契數列創作成《衝擊波》。但是真的如某些研究所說的,諸如《聖母的榮耀》、《蒙娜麗莎》等等畫作,諸如大金字塔、巴特農神殿等古代建築結構是根據黃金比例來設計的嗎?《黃金比例》這本書的作者提出了以上的質疑。作者指出:我們看到很多例子,顯示黃金比例的熱衷者檢視了許多視覺藝術作品或建築物的比例,以求能夠發現黃金比例的應用,但是除了少數幾個以黃金比例作為其構作的樣式之外,其他許多案例很可能只是誤會一場,這個誤會主要是測量時所用參考點的不同所造成的。作者花了好幾個章節的篇幅,想要破除黃金比例在藝術領域的迷思,黃金比例所呈現的美感往往是因人而異,黃金比例在藝術創作之中,並沒有佔據那樣顯著的地位,黃金比例反而是在數學,以及最意想不到的大自然現象裡,展露它的重要性

  作者透過《黃金比例》這本書,目的在於提出以下這個問題:是什麼原因使得數學,以及像黃金比例這類的數學常數,在許多領域裡——從宇宙的基礎理論、生物的成長型態到股票市場——都扮演著關鍵性的角色?這也是愛因斯坦曾經提過的問題:數學,一個獨立於經驗之外的人類思想成果,怎麼可能與實際的物理現象契合得如此天衣無縫?而最令人震驚的是:為什麼物理定律本身可以用數學方程式來表達?難道正如古希臘的畢氏學派的格言所說:「所有的一切都是數字」?難道上帝是數學家?在最後兩章,第八章《從地磚到蒼穹》與第九章《上帝是一位數學家嗎?》,作者試圖回答這些難題——這也是我非常感興趣的謎題!

  這是牽涉到數學哲學(在數學對象的本體論方面)最核心的爭議,在數學史上至少有兩派理論從不同的角度來回答。一派是柏拉圖主義或修正的柏拉圖主義,數學物件雖然是抽象的,但卻是獨立於時間、空間與人們的思維而客觀永恆地存在的,數學家所提出的理論不是創造,而是對於這種客觀存在的描述;假如我們要與宇宙另一邊的外星智慧文明溝通,把黃金比例 1.6180339887... 這個數字傳送過去,它們肯定瞭解我們的意思,也就是說,這個觀點認為:宇宙本身把同樣客觀的數學理型加諸於大家身上,即使是數學家因為遊戲而提出的理論,也客觀地對應到大自然的某個結構,例如彭羅斯(Roger Penrose)當初消遣用的非週期性鋪磚(關聯到黃金比例),居然可以作為準晶體之存在的解釋。而另一派截然不同的觀點則認為,數學不能存在於人類的腦袋之外,它只是人類的創造、發明與建構,數學物件並不是客觀的實體,它們是被想像出來的;面對「為什麼數學在解釋宇宙現象時,有這麼大的威力?」此問題,這一派的回答是,純數學之所以能成功地轉為應用數學,只不過反映了觀念的生產過剩,而物理只不過是從這些生產過剩的觀念中,選出最適合它所需的而已。(其實,關於數學基礎的看法有很多派別,包括柏拉圖主義、唯名論觀點、康德的概念論、約定論觀點、邏輯主義、直覺主義、形式主義、建構主義等等,而這兩段所提及的問題,實際上應該分割成不同層次的子問題才對!)

  這兩派並不能提出一個完全令人滿意的答案,《黃金比例》這本書的作者認為,我們應該採用這兩派觀點的互補,首先,數學規則(例如幾何或集合論的公設)確實是人類頭腦的創造物,可是這些規則一旦被確定之後,我們也就喪失了我們的自由;黃金比例首先是在歐幾里德幾何中被定義,斐波那契數列則是來自於數論的公設,可是,相鄰的斐波那契數字之比向黃金比例而收斂,這個事實卻是強加在我們身上的——儘管數學是人類想像力的產物,但是數學的確有其真實的屬性!作者藉由複雜系統理論大師 Stephen Wolfram 的鉅作《 A New Kind of Science 》(找個時間,我要好好介紹這本書, 書裡談到了細胞自動機這類的電腦模擬程式,Wolfram 認為,大自然的秘密在於應用簡單的程式去產生複雜性)所談到的觀點來表述自己的看法:至少這個被許多人視為是構成物理基礎的既存的數學世界,可能並非是獨一無二,換句話說,確定可以有一個和現有對大自然描述截然不同的描述存在,就我們所知的數學而言,它在所有可能用來解釋宇宙運作的簡單定律集合中,它只佔了微不足道的一小部份!——簡單講,本書作者與 Wolfram 同樣認為,在歷史偶然下,數學是被發明出來的,它的「遊戲規則」是人制定出來的,可是一旦被發明出來之後,它也就有了自己的生命,而人類必須以柏拉圖觀點去發現它內蘊的所有屬性。(在另一篇文章,我將把這樣的見解與「擬經驗論」的觀點作一番比較!)

  這篇文章我已經寫到尾聲。這本書的主旨與珍貴之處,就是藉著「黃金比例」的奇妙性質來提出上述的問題,而作者試圖作出合理的解答,我認為這個解答雖然不夠精緻、也沒有正面回答問題,可是還算是一個不偏執的答案。這本書有一點可惜是,沒有把黃金比例與眾多大自然現象的內在聯繫作個更清楚的描寫,由於作者想要在更大的框架內,談數學與大自然/物理的關係,所以擠壓了原本可以「仔細」寫黃金比例的部分。作者還談了不少「題外話」,其中有個部分我一定要說說,作者在兩處舉例談到「看似隨機的過程,卻能夠產生決定性的結果 」, 在 p.271 - p.273,如果把斐波那契數列改成是 Fn+2=Fn+1 ±(隨機加或減)Fn ,產生的新數列如果只看這些數值的絕對值,這個隨機數列居然仍舊以明顯可預期的速度不斷增加,而且第一百項與 1.1319882 .... 這個數字的一百次方非常接近,符合的機率是百分之百。在 p.279 - p.283,作者提到了「 班佛(Benford)定律」:如果隨機選擇數據的分布,再從這些分布中隨機選擇數字樣本,那麼會發現,某數開頭的數字出現的頻率是趨向某個固定值,例如 1 開頭的機率是 30%,2 是 17.6%,3 是 12.5%, 4 是 9.7%,5 是 8%, 6 是 6.7%,7 是 5.8%, 8 是 5%, 9 是 4.6%,這個定律實在是令人大吃一驚。從這兩個例子,我們又該如何解釋這種意料之外的事實呢?似乎就如同當初我們想像不到,黃金比例與大自然有如此密切的關聯那樣!數學與物理/確定性與機率性,其實還有很多我們未知的謎團、難以釐清的糾葛。


延伸閱讀:
〈裴勇俊「黃金比例」的招牌微笑〉
http://blog.xuite.net/sinner66/blog/6507151